Κανόνας των τάσεων του Kirchhoff

Στην παράγραφο αυτή, θα παρουσιάσουμε τον κανόνα των τάσεων του Kirchhoff, ο οποίος διατυπώνεται ως εξής:

Το αλγεβρικό άθροισμα των τάσεων γύρω από κάθε κλειστή διαδρομή (βρόγχος) σε ένα κύκλωμα, είναι ίσο με μηδέν.

Το ρεύμα είναι μια μεταβλητή που σχετίζεται με το φορτίο που ρέει διαμέσου ενός στοιχείου κυκλώματος, ενώ η τάση είναι ένα μέτρο της διαφοράς της δυναμικής ενέργειας στα άκρα του στοιχείου, δηλ. την ηλεκτρική ενέργεια που δαπανάται για να περάσει φορτίο 1 Cb από το στοιχείο.

Έτσι η ενέργεια που απαιτείται για την μετακίνηση ενός φορτίου 1 Cb από το σημείο Α στο Β σε ένα κύκλωμα, πρέπει να έχει μια τιμή που θα είναι ανεξάρτητη από την διαδρομή που ακολουθείται από το Α έως το Β.

Στο διπλανό σχήμα, αν μεταφέρουμε φορτίο 1 Cb από το Α στο Β, διαμέσου του στοιχείου 1, τα πρόσημα αναφοράς υποδηλώνουν ότι, δαπανάται ηλεκτρική ενέργεια, ίση με το παραγόμενο έργο v₁ joules. Αν αντί αυτού, διαλέξουμε να προχωρήσουμε από το Α στο Β διαμέσου του C τότε ξοδεύουμε v₂-v₁ joules. Το έργο που παράγεται, είναι ανεξάρτητο από την διαδρομή σε ένα κύκλωμα, οπότε, πρέπει να ισχύει:

v₁= v₂ – v₃ => v₂ – v₃ – v₁ =0

Προκύπτει λοιπόν ότι, αν χαράξουμε μια κλειστή διαδρομή, το αλγεβρικό άθροισμα των τάσεων στα άκρα των στοιχείων, γύρω από αυτή την κλειστή διαδρομή, θα πρέπει να είναι μηδέν.

Ο κανόνας της τάσης του Kirchhoff είναι μια συνέπεια της διατήρησης της ενέργειας και της συντηρητικής ιδιότητας του πεδίου δυνάμεων μέσα στους αγωγούς του ηλεκτρικού κυκλώματος.

Παράδειγμα: Σαν παράδειγμα εφαρμογής του κανόνα των τάσεων του Kirchhoff θεωρούμε το κύκλωμα απλού βρόγχου του σχήματος.

Ορίζουμε συμβατικές φορές κατεύθυνσης για τις άγνωστες εντάσεις κάθε ρεύματος. Μια πρόχειρη εφαρμογή του κανόνα έντασης του Kirchhoff, μας βεβαιώνει ότι, αυτή η ίδια ένταση πρέπει επίσης να διαρρέει και κάθε άλλο στοιχείο του κυκλώματος.

Στη συνέχεια επιλέγουμε μια τάση αναφοράς, για κάθε μια από τις αντιστάσεις. Έχουμε ήδη μάθει ότι, η εφαρμογή του νόμου του Ωμ σε μια αντίσταση χωρίς πρόσημο, v = Ri, επιβάλλει να επιλεγεί η πολικότητα της έντασης και των τάσεων τέτοια ώστε, το ρεύμα να εισέρχεται προς τον πόλο που βρίσκεται η θετική αναφορά τάσης. Αυτή είναι η συμβατική φορά του θετικού προσήμου.

Στο επόμενο βήμα, εφαρμόζουμε τον κανόνα του Kirchhoff στο κλειστό κύκλωμα. Ξεκινώντας από την κάτω αριστερή γωνία και κινούμενοι δεξιόστροφα, γράφουμε την εξίσωση σαν το άθροισμα των πτώσεων τάσεων ίσο με μηδέν.

Αν συναντήσουμε πρώτα το πρόσημο (+) σε μια τάση αναφοράς, έχουμε μείωση δυναμικού και γράφουμε την τάση με πρόσημο μείον. Αν συναντήσουμε πρώτα το πρόσημο (-) έχουμε αύξηση δυναμικού και γράφουμε την τάση με πρόσημο συν. Επομένως έχουμε:

v_s₁ – v_R₁ – v_s₂ – v_R₂ = 0

Αφού στις αντιστάσεις το ρεύμα εισέρχεται στον θετικό πόλο αναφοράς, εφαρμόζουμε τον νόμο του Ωμ ως εξής:

v_R₁ = R₁i και v_R₂ = R₂i

Με αντικατάσταση παίρνουμε:

v_s₁ – R₁i – v_s₂ – R₂i = 0

και λύνοντας ως προς i έχουμε i = (v_s₁ – v_s₂)/( R₁+ R₂)

όπου όλες οι τιμές στο δεύτερο μέλος είναι γνωστές και μας επιτρέπουν να υπολογίσουμε το ρεύμα i.

Για το αριθμητικό παράδειγμα του σχήματος, έχουμε:

+120 – 30i -30 – 15i = 0 οπότε i = (120-30)/(30+15) = 2A

Άρα οι τάσεις στα άκρα των αντιστάσεων είναι: v₃₀ = 2(30) = 60V και v₁₅ = 2(15) = 30V

Η ισχύς που απορροφάται από κάθε στοιχείο είναι ίσο με το γινόμενο της τάσης που έχει στα άκρα του επί την ένταση του ρεύματος που εισέρχεται στην αντίσταση του στοιχείου που έχει θετικό πρόσημο.

Η ισχύς που απορροφάται από την μπαταρία των 120V είναι ίση με:
p₁₂₀_V=120(-2)=-240W

Άρα ισχύς 240W κατανέμεται από αυτή την πηγή προς τα άλλα στοιχεία του κυκλώματος. Όμοια: p₃₀_V=30(2)=60W

Άρα το ενεργό αυτό στοιχείο, απορροφά ισχύ (ή φορτίζεται), η οποία παρέχεται από την άλλη μπαταρία. Η ισχύς που καταναλώνεται από κάθε αντίσταση είναι θετική, και υπολογίζεται ως εξής:

P₃₀ = i²R = 2²(30) = 120W και p₁₅ = 2²(15)=60W

Παράδειγμα: Προχωράμε με ένα παράδειγμα, όπως αυτό του σχήματος, στο οποίο μια πηγή τάσης είναι εξαρτημένη πηγή. Κατά τα γνωστά, ορίζουμε μια συμβατική φορά για την ένταση i και την τάση v₃₀ Δεν υπάρχει ανάγκη να καθορίσουμε την τάση στην αντίσταση των 15Ω γιατί η τάση v_A που χαρακτηρίζει την εξαρτημένη πηγή είναι ήδη γνωστή.

Πρέπει να προσέξουμε ότι, αν τα σημεία πολικότητας της v_A είναι ανεστραμμένα τότε ο νόμος του Ωμ για αυτό το στοιχείο πρέπει να εκφραστεί σαν v_A = -15i. Εφαρμόζοντας τον κανόνα των τάσεων του Kirchhoff, για τον βρόγχο έχουμε:

120 – v₃₀ – 2v_A + v_A = 0

Σύμφωνα με τον νόμο του Ωμ, είναι: v₃₀ = 30i και v_A = -15i

Με αντικατάσταση, παίρνουμε: 120 – 30i – 2(-15i) – 15i = 0 => 120 – 15i = 0 => i = 8A

Επίσης, έχουμε: v₃₀ = 30(8) = 240V και v_A = -15(8) = -120V

Οι τύποι για την ισχύ δείχνουν ότι η πηγή τάσης των 120V παρέχει 960W, η εξαρτημένη πηγή παρέχει 1920W και οι δυο αντιστάσεις μαζί καταναλώνουν 2880W.

Παράδειγμα: Ας εφαρμόσουμε τους κανόνες ρεύματος και τάσης του Kirchhoff, που μάθαμε στην προηγούμενη ενότητα, για το κύκλωμα του σχήματος, για να βρούμε το ρεύμα i και την τάση v στην αντίσταση R.

i_S = 2A , v_S= 5V , R₁ = 75Ω , R₂ = 40Ω , R₃ = 20Ω και R = 50Ω

Σημειώνουμε αυθαίρετες φορές ρεύματος αναφοράς στις αντιστάσεις μαζί με τις πολικότητες αναφοράς τάσης, έτσι ώστε να είναι σύμφωνες με την σύμβαση παθητικού προσήμου.

Ο κανόνας των ρευμάτων στον πάνω κόμβο γράφεται:

i_s – i₁ – i₂ – i = 0 => i₁ + i₂ + i = 2 (1)

ο κανόνας των τάσεων του Kirchhoff στους βρόγχους 1 και 2 γράφεται:

i₁R₁ – i₂R₂ + v_S = 0 => 75i₁ – 40i₂ = -5 (2)
-v_S + i₂R₂ – i(R₃+R) = 0 => 40i₂ – 70i = 5 (3)

Λύνοντας το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων (1), (2) και (3) παίρνουμε:
i₁ = 0,48A i₂ = 1,02A και i = 0,51A

Επομένως το ρεύμα και η τάση στην αντίσταση R είναι 0,51A και 0,51×50 = 25,5V αντίστοιχα.