Πολλές φορές σε σύνθετα κυκλώματα όπως σε γέφυρές ή σε Τ δικτυώματα, δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε σκέτο τον νόμο του Ωμ για να βρούμε τα ρεύματα και τις τάσεις κατά μήκος του κυκλώματος. Σε αυτούς τους τύπους υπολογισμών χρειαζόμαστε ορισμένους κανόνες οι οποίοι θα επιτρέψουν σε εμάς να γράψουμε τις εξισώσεις του κυκλώματος. Οι εξισώσεις αυτές του κυκλώματος διατυπώνονται με τους κανόνες του Kirchhoff για το ρεύμα και την τάση.

Το 1845 ένας Γερμανός φυσικός ο Gustav Kirchhoff ανέπτυξε ένα ζευγάρι κανόνων για την επίλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων που βασίζονται στην διατήρηση του ρεύματος και της ενέργειας μέσα στα κυκλώματα αυτά. Ο ένας από αυτούς αναφέρεται στο ρεύμα που εισέρχεται και εξέρχεται από ένα κόμβο και ονομάζεται ο κανόνας του ρεύματος του Kirchhoff. Ο άλλος κανόνας αναφέρεται στις πηγές και στις πτώσεις τάσεις σε μια κλειστή διαδρομή του κυκλώματος και ονομάζεται κανόνας των τάσεων του Kirchhoff.

Ο πρώτος κανόνας του Kirchhoff – ο κανόνας των ρευμάτων (KCL)

Ο κανόνας του ρεύματος του Kirchhoff (KCL) δηλώνει ότι το ολικό ρεύμα (ή φορτίο) που εισέρχεται σε ένα κόμβο είναι ακριβώς ίσο με το ολικό ρεύμα (ή φορτίο) που αφήνει τον κόμβο. Ο νόμος των ρευμάτων του Kirchhoff βασίζεται στο γεγονός ότι το φορτίο ούτε εξαφανίζεται αλλά ούτε εμφανίζεται από το μηδέν.

Με διαφορετικό τρόπο το αλγεβρικό άθροισμα όλων των ρευμάτων που εισέρχονται και αφήνουν ένα κόμβο πρέπει να είναι μηδέν:

I_(exiting) + I_(entering) = 0

Αυτή η ιδέα του Kirchhoff είναι γνωστή σαν δια τήρηση του φορτίου.

Παράδειγμα: Στο κόμβο του σχήματος τα τρία ρεύματα που εισέρχονται στον κόμβο: Ι₁ , Ι₂ , Ι₃ είναι όλα θετικά ενώ τα υπόλοιπα δυο ρεύματα που αφήνουν τον κόμβο Ι₄ και Ι₅ είναι αρνητικά. Έτσι μπορούμε να γράψουμε το νόμο των ρευμάτων του Kirchhoff ως εξής:

Ι₁ + Ι₂ + Ι₃ – Ι₄ – Ι₅ = 0

Ο όρος «κόμβος» αναφέρεται σε μια ένωση ή σύνδεση δυο η περισσότερων διαδρομών ή ένωση στοιχείων κυκλώματος όπως καλωδίων ή εξαρτημάτων. Επίσης για ένα ρεύμα που εισέρχεται ή εξέρχεται από ένα κόμβο θα πρέπει να υπάρχει μια κλειστή διαδρομή.

Παράδειγμα: παράλληλη σύνδεση αντιστάσεων. Ας εξετάσουμε πως μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα των ρευμάτων του Kirchhoff σε αντιστάσεις συνδεμένες παράλληλα, στην περίπτωση που η αντίσταση τους είναι ίδια ή διαφορετική. Θεωρούμε το ακόλουθο σχηματικό διάγραμμα.

Αυτό το κύκλωμα περιέχει τον κόμβο Α στον οποίο ενώνονται η πηγή τάσης και οι δυο αντιστάσεις. Στον κόμβο Α εισέρχονται το ρεύμα της πηγής Ι_Τ και εξέρχονται τα ρεύματα Ι₁ και Ι₂ των αντιστάσεων R₁ και R₂ αντίστοιχα.

Επειδή η τάση στα άκρα της κάθε αντίστασης είναι ίση με την τάση της πηγής, μπορούμε να βρούμε τα ρεύματα που τις διαρρέουν κάνοντας χρήση του νόμου του Ωμ. Έτσι:

Το ρεύμα Ι₁ που διαρρέει την R₁ είναι Ι₁ = V / R₁ = 24 / 8 = 3A
Το ρεύμα Ι₂ που διαρρέει την R₂ είναι Ι₂ = V / R₂ = 24 / 12 = 2A

Όπως είπαμε ο κανόνας των ρευμάτων του Kirchhoff δηλώνει ότι το άθροισμα των ρευμάτων που εισέρχονται σε ένα κόμβο πρέπει να είναι ίσο με το άθροισμα των ρευμάτων που αφήνουν τον κόμβο και στο παράδειγμα μας υπάρχει ένα ρεύμα Ι_Τ που εισέρχεται στο κόμβο Α και δυο ρεύματα που αφήνουν τον κόμβο Ι₁ και Ι₂

Σύμφωνα με τους υπολογισμούς που κάναμε τα ρεύματα που αφήνουν τον κόμβο Α είναι Ι₁ = 3amps και Ι₂ = 2amps. Έτσι το άθροισμα αυτών των ρευμάτων που εξέρχονται από τον κόμβο Α είναι ίσο 3 + 2 = 5amps και είναι ίσο με το ρεύμα που εισέρχεται στον κόμβο Α, δηλαδή Ι_Τ = 5amps

Παράδειγμα: Εφαρμόζοντας τον KCL σε περισσότερο σύνθετα κυκλώματα. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα των ρευμάτων του Kirchhoff για να βρούμε τα ρεύματα σε περισσότερο σύνθετα κυκλώματα. Γνωρίζουμε ότι το αλγεβρικό άθροισμα όλων των ρευμάτων σε ένα κόμβο (σημείο ένωσης) είναι ίσο με μηδέν. Ας δούμε το παράδειγμα του ακόλουθου σχηματικού διαγράμματος.

Σε αυτό το παράδειγμα υπάρχουν τρεις κόμβοι διακλάδωσης του ρεύματος και συγκεκριμένα οι Α, Β, C. Το ρεύμα της πηγής Ι_Τ διαχωρίζεται στο κόμβο Α δια μέσω των αντιστάσεων R₁ και R₂ και συνενώνονται στο κόμβο Β και στη συνέχεια διαχωρίζονται ξανά δια μέσου των αντιστάσεων R₃, R₄ και R₅ και τελικά συνενώνονται στο κόμβο C.

Αλλά πριν υπολογίσουμε τα ρεύματα σε κάθε αντίσταση, πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε το ολικό ρεύμα του κυκλώματος Ι_Τ. Σύμφωνα με το νόμο του Ωμ, ο οποίος εκφράζεται ως Ι = V / R και γνωρίζουμε την τάση V η οποία είναι 130V θα πρέπει να υπολογίσουμε την αντίσταση του κυκλώματος ως εξής:

Αντίσταση κυκλώματος R_AB

1/R_(AB) = 1/R₁ + 1/R₂ = 1/2,4 + 1/1,7
1/R_(AB) = 1/1   ή     R_(AB) = 1Ω

Επομένως η ισοδύναμη αντίσταση μεταξύ των κόμβων Α και Β υπολογίζεται σαν 1Ω

Αντίσταση κυκλώματος R_BC

1/R_(BC) = 1/R₃ + 1/R₄ + 1/R₅ = 1/60 + 1/20 + 1/30
1/R_(BC) = 1/0,1       ή     R_(BC)  =  10Ω

Επομένως η ισοδύναμη αντίσταση μεταξύ των κόμβων Β και C υπολογίζεται ίση με 10Ω. Επομένως το ολικό ρεύμα του κυκλώματος Ι_Τ υπολογίζεται ως:

R_T = R_(AB) + R_(BC) = 1 +10 = 11Ω
Ι_Τ = V / R_T = 132 / 11 = 12Amps

Ισοδύναμο κύκλωμα

Το παραπάνω κύκλωμα είναι το ισοδύναμο κύκλωμα του αρχικού κυκλώματος στο οποίο είναι V=132V,  R_AB = 1Ω, R_BC = 10Ω και Ι_Τ = 12A. Στην συνέχεια θα υπολογίσουμε τα ρεύματα των κλάδων του κυκλώματος και θα επαληθεύσουμε τον κανόνα των ρευμάτων του Kirchhoff.

V_AB = I_T ‧ R_AB = 12 ‧ 1 = 12 Volts
V_BC = I_T ‧ R_BC = 12 ‧ 10 = 120 Volts
I₁  = V_AB / R₁ = 12 / 2,4 = 5 Amps
I₂  = V_AB / R₂ = 12 / 1,7 = 7 Amps
I₃  = V_BC / R₃ = 120 / 60 = 2 Amps
I₄  = V_BC / R₄ = 120 / 20 = 6 Amps
I₅  = V_BC / R₅ = 120 / 30 = 4 Amps

Επομένως Ι₁ = 5Α, Ι₂ = 7Α, Ι₃ = 2Α, Ι₄ = 6Α και Ι₅ = 4Α

Μπορούμε να επιβεβαιώσουμε τον κανόνα των ρευμάτων του Kirchhoff για τον κόμβο Β υπολογίζοντας τα ρεύματα που εισέρχονται και εξέρχονται απ’ αυτόν.

Στον κόμβο Β:  Σ_ΙΝ  =   Σ_OUT
I_T = I₁ + I₂ = I₃ + I₄ + I₅
12 = (5 + 7) = (2 + 6 + 4)

Μπορούμε να τσεκάρουμε τον κανόνα των ρευμάτων του Kirchhoff θεωρώντας τα ρεύματα που εισέρχονται στον κόμβο Β ως θετικά και τα ρεύματα που εξέρχονται από τον κόμβο Β ως αρνητικά και θα πρέπει το αλγεβρικό άθροισμα τους να είναι μηδέν. Επομένως το αλγεβρικό άθροισμα είναι  I₁ + I₂ –  I₃ – I₄ – I₅ = 0 το οποίο είναι ισοδύναμο με 5 + 7 – 2 – 6 – 4 = 0