Πρόσθεση και αφαίρεση αριθμών – υπερχείλιση

Η πρόσθεση δυο θετικών αριθμών είναι η ίδια διαδικασία όπως στην πρόσθεση αριθμών προσημασμένου μέτρου. Όταν θέλουμε να κάνουμε αφαίρεση απλά προσθέτουμε τον αρνητικό αριθμό του αφαιρετέου σε αναπαράσταση συμπληρώματος ως προς δυο.

Στο παράδειγμα (α) φαίνεται η απλή πρόσθεση δυο θετικών αριθμών. Με το παράδειγμα (β) φαίνεται πόσο απλό είναι το άθροισμα δυο αρνητικών αριθμών, ενώ αν προκύψει κρατούμενο από την πρόσθεση το αγνοούμε. Το νέο άθροισμα που προκύπτει είναι το άθροισμα σε αναπαράσταση συμπληρώματος ως προς δυο. Κρατούμενο έχουμε και στο παράδειγμα (γ) οπότε αγνοώντας το έχουμε το σωστό άθροισμα. Στο τελευταίο παράδειγμα (δ) έχουμε σαν αποτέλεσμα 1101 το οποίο είναι το -3 σε αναπαράσταση συμπληρώματος ως προς δυο.

Ένας απλός τρόπος να βρίσκουμε το μέτρο ή την απόλυτη τιμή ενός αρνητικού αριθμού σε αναπαράσταση ως προς δυο είναι να παίρνουμε το συμπλήρωμα του ως προς δυο.

Υπερχείλιση

Υπερχείλιση έχουμε όποτε το άθροισμα δυο θετικών αριθμών δίνει ένα αρνητικό αποτέλεσμα, ή όταν το άθροισμα δυο αρνητικών αριθμών δίνει θετικό αποτέλεσμα. Χρησιμοποιώντας τον «τροχό των αριθμών» του σχήματος βλέπουμε την αναπαράσταση της υπερχείλισης.

Αν σε ένα αριθμό προσθέσουμε ένα θετικό αριθμό, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι κινούμαστε στον τροχό κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού κατά τόσες θέσεις όσες είναι το μέτρο του. Αν προσθέσουμε ένα αρνητικό αριθμό κινούμαστε αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Στο σχήμα χρησιμοποιούμε την αναπαράσταση συμπληρώματος ως προς δυο για τους αρνητικούς αριθμούς και χωρίζουμε τον «τροχό» σε δυο ίσα τμήματα με το ένα να αναπαριστά τους θετικούς αριθμούς και το μηδέν ενώ το άλλο να αναπαριστά τους αρνητικούς αριθμούς.

Όταν με την πρόσθεση ή την αφαίρεση διασχίζεται η διαχωριστική γραμμή μεταξύ των δυο τμημάτων, τότε έχουμε υπερχείλιση. Αυτό φαίνεται με δυο παραδείγματα ( +5 ) + ( +4 ) και ( -7  ) – ( -3 ). Στο πρώτο παράδειγμα ξεκινάμε από τη θέση που αναπαριστά το +5 και κινούμαστε κατά 4 θέσεις κατά τη φορά των δειχτών του ρολογιού. Το αποτέλεσμα είναι ο αριθμός -7 άρα έχουμε υπερχείλιση. Στο δεύτερο παράδειγμα ξεκινάμε από τη θέση που αναπαριστά το -7 και κινούμαστε κατά 3 θέσεις κατά την αντίθετη φορά των δειχτών του ρολογιού. Το αποτέλεσμα είναι ο αριθμός +6 άρα έχουμε υπερχείλιση.

Το πρόβλημα της υπερχείλισης στα ψηφιακά συστήματα αντιμετωπίζεται χρησιμοποιώντας ειδικά κυκλώματα ανίχνευσης της ύπαρξης υπερχείλισης, η πληροφορία αυτή αποθηκεύεται και χρησιμοποιείται για την σωστή ερμηνεία των αποτελεσμάτων.