Το θεώρημα Thevenin
Σε προηγούμενα εδάφια παρουσιάσαμε τους κανόνες του Kirchhoff για να αναλύσουμε ένα κύκλωμα και να βρούμε τις τάσεις και τα ρεύματα στο κύκλωμα. Όμως υπάρχουν περισσότερα θεωρήματα ανάλυσης κυκλωμάτων με τα οποία μπορούμε να υπολογίσουμε τις τάσεις και τα ρεύματα. Ένα ευρέως χρησιμοποιούμενο από αυτά είναι το θεώρημα Thevenin.
Το θεώρημα Thevenin δηλώνει ότι οποιοδήποτε γραμμικό κύκλωμα το οποίο περιέχει ηλεκτρικές πηγές και αντιστάσεις μπορεί να αντικατασταθεί από μια πηγή τάσης σε σειρά με μια απλή αντίσταση συνδεμένα κατά μήκος με ένα φορτίο. Με άλλα λόγια είναι δυνατό να απλοποιήσουμε ένα οποιοδήποτε γραμμικό κύκλωμα ανεξάρτητα από το πόσο σύνθετο είναι με ένα ισοδύναμο κύκλωμα δυο ακροδεκτών που να αποτελείται από μια σταθερή πηγή τάσης σε σειρά με μια αντίσταση, συνδεμένα σε ένα φορτίο.
Παράδειγμα: Υποθέτουμε ότι θέλουμε να βρούμε το ρεύμα που διαρρέει και την τάση στα άκρα της αντίστασης 40Ω στο ακόλουθο κύκλωμα:
Εργαζόμαστε με το θεώρημα Thevenin ως ακολούθως:
Πρώτον: αφαιρούμε την αντίσταση των 40Ω από τα άκρα Α και Β.
Δεύτερον: βραχυκυκλώνουμε τις πηγές τάσης ώστε v=0 και αφαιρούμε τις πηγές ρεύματος ώστε i=0.
Τρίτον: υπολογίζουμε την αντίσταση Thevenin στα άκρα Α και Β.
Στο παράδειγμα μας η αντίσταση 10Ω είναι συνδεμένη παράλληλα με την αντίσταση 20Ω οπότε η αντίσταση Thevenin είναι:
RT = (R1 ‧ R2) / (R1 + R2) = 20‧10 / (20 + 10) = 6,67Ω
Τέταρτον: Με όλες τις πηγές τάσης και ρεύματος συνδεμένες βρίσκουμε την τάση Thevenin στα άκρα Α και Β χωρίς το φορτίο 40Ω
Στο παράδειγμα μας συνδέουμε τις πηγές 10V και 20V και υπολογίζουμε το ρεύμα που διαρρέει τον βρόγχο από το νόμο του Ωμ.
Ι = V / R = (20V – 10V) / (20Ω + 10Ω) = 0,33A
Το ρεύμα των 0,33Α είναι κοινό και για τις δυο αντιστάσεις, επομένως η τάση VAB υπολογίζεται ως εξής:
VAB = 20 – (20Ω ‧ 0,33Α) = 13,33V
VAB = 10 + (10Ω ‧ 0,33A) = 13,33V
Έτσι το κατά Thevenin ισοδύναμο κύκλωμα αποτελείται από την αντίσταση Thevenin 6,67Ω σε σειρά με την πηγή τάσης Thevenin 13,33V .
Με την αντίσταση των 40Ω συνδεμένη στο ισοδύναμο κύκλωμα υπολογίζουμε το ρεύμα που την διαρρέει ως εξής:
Ι = V / R = 13,33V / (6,67Ω + 40Ω) = 0,286Α
Ενώ η τάση στα άκρα της αντίστασης των 40Ω υπολογίζεται από τον νόμο του Ωμ ως
V = I ‧ R = 0,286A ‧ 40Ω = 11,44V
Το θεώρημα Norton
Με το θεώρημα Norton μπορούμε να μετασχηματίσουμε ένα κύκλωμα στο ισοδύναμο του, το οποίο αποτελείται από μια απλή αντίσταση παράλληλα με μια πηγή ρεύματος.
Σύμφωνα με το θεώρημα Norton κάθε γραμμικό κύκλωμα το οποίο περιέχει ηλεκτρικές πηγές και αντιστάσεις μπορεί να αντικατασταθεί με μια απλή πηγή ρεύματος παράλληλα με μια απλή αντίσταση.
Παράδειγμα: θεωρούμε το ακόλουθο κύκλωμα, ακριβώς το ίδιο όπως στο προηγούμενο εδάφιο και θέλουμε να υπολογίσουμε το ρεύμα που διαρρέει και την τάση στα άκρα της αντίστασης 40Ω.
Εργαζόμαστε με το θεώρημα Norton όπως ακολούθως:
Πρώτον: αφαιρούμε την αντίσταση των 40Ω από τα άκρα Α και Β.
Δεύτερον: βραχυκυκλώνουμε τις πηγές τάσης ώστε v=0 και αφαιρούμε τις πηγές ρεύματος ώστε i=0.
Τρίτο: υπολογίζουμε την αντίσταση Norton στα άκρα Α και Β. Στο παράδειγμα μας η αντίσταση 10Ω είναι συνδεμένη παράλληλα με την αντίσταση 20Ω, οπότε η αντίσταση Norton υπολογίζεται ως εξής:
RT = (R1 ‧ R2) / (R1 + R2) = 20‧10 / (20 + 10) = 6,67Ω
Τέταρτο: με όλες τις πηγές τάσεις και ρεύματος συνδεμένες, βραχυκυκλώνουμε τα άκρα Α και Β και υπολογίζουμε το ρεύμα Norton μέσα από τον βραχυκυκλωτήρα.
Στο παράδειγμα μας έχουμε:
Ι1 = 10V / 10Ω = 1Α
Ι2 = 20V / 20Ω = 1A
οπότε Ιβραχυκυκλώσεως = Ι1 + Ι2 = 2A
Έτσι το κατά Norton ισοδύναμο κύκλωμα αποτελείται από την αντίσταση Norton 6,67Ω παράλληλα με την πηγή ρεύματος Norton 2A:
Με την αντίσταση των 40Ω συνδεμένη στο ισοδύναμο κύκλωμα Norton προκύπτει το κύκλωμα:
Σε αυτό το κύκλωμα έχουμε δυο αντιστάσεις συνδεμένες παράλληλα μεταξύ των άκρων Α και Β που δίνει την ολική αντίσταση ως:
RT = (R1 ‧ R2) / (R1 + R2) = 6,67 ‧ 40 / (6,67 + 40) = 5,72
Η τάση στα άκρα Α και Β με την αντίσταση φορτίου συνδεμένη δίνεται από την σχέση:
VAB = I ‧ R = 2 ‧ 5,72 = 11,44V
Το ρεύμα μέσα στην αντίσταση φορτίου 40Ω δίνεται από την σχέση:
Ι = V / R = 11.44 / 40 = 0,286A