Πολλές φορές, έχουμε στην πράξη ένα σύνθετο κύκλωμα από πηγές και αντιστάσεις και μας ενδιαφέρει να προσδιορίσουμε το ρεύμα και την πτώση τάσης σε μια μόνο αντίσταση του κυκλώματος. Στην περίπτωση αυτή, μπορούμε βέβαια να επιλύσουμε το κύκλωμα με την βοήθεια του νόμου του Ωμ και των κανόνων του Kirchhoff, όπως μάθαμε σε προηγούμενη ενότητα. Ο τρόπος όμως αυτός είναι συνήθως επίπονος, γιατί είμαστε υποχρεωμένοι να προσδιορίσουμε τα ρεύματα και τις τάσεις και στους υπόλοιπους κλάδους του κυκλώματος, που δεν μας χρειάζονται.

Επίσης έχουμε πολλές φορές ένα σύνθετο κύκλωμα με μια μεταβλητή αντίσταση φορτίου και μας ενδιαφέρει να ξέρομε το ρεύμα, που περνά από το γραμμικό φορτίο σε κάθε τιμή του. Η επίλυση με την βοήθεια των κανόνων του Kirchhoff είναι επίσης πολύ επίπονη, επειδή θα πρέπει να επιλύσουμε γενικά το κύκλωμα ως προς το ζητούμενο ρεύμα και να προσδιορίζουμε την τιμή του για κάθε ξεχωριστή τιμή  του φορτίου από τον γενικό τύπο, που μπορεί να είναι εξαιρετικά σύνθετος.

Όταν μας ενδιαφέρει να προσδιορίσουμε το ρεύμα (ή τάση) σε μία μόνο αντίσταση φορτίου ή πιο γενικά σε ένα κλάδο του κυκλώματος, μπορούμε να αντικαταστήσουμε το υπόλοιπο σύνθετο κύκλωμα, δηλαδή το κύκλωμα χωρίς το φορτίο ή τον κλάδο, με ένα απλό, που όμως είναι ισοδύναμο με το σύνθετο.

Εξ’ ορισμού, δυο κυκλώματα, που περιλαμβάνουν ηλεκτρικές πηγές, είναι ισοδύναμα, όταν δημιουργούν το ίδιο ρεύμα στην ίδια αντίσταση φορτίου.

Το θεώρημα Thevenin

Σύμφωνα με το θεώρημα του Thevenin, οποιοδήποτε σύνθετο γραμμικό κύκλωμα, συνδεδεμένο σε δυο σημεία σε ένα άλλο κύκλωμα (π.χ. σε μια αντίσταση φορτίου), μπορεί να αντικατασταθεί με ένα απλό ισοδύναμο κύκλωμα, αποτελούμενο από μια ιδανική πηγή τάσης Ε_Τ και μια αντίσταση σε σειρά. (Γραμμικό κύκλωμα λέμε ένα κύκλωμα, που αποτελείται από γραμμικές αντιστάσεις και πηγές)

Το σχήμα δείχνει ένα σύνθετο κύκλωμα (1) και το ισοδύναμο του (2) σύμφωνα με το θεώρημα Thevenin. Το αριστερό μέρος του κυκλώματος (α) μεταξύ των ακροδεκτών έχει αντικατασταθεί με την πηγή Ε_Τ σε σειρά με την αντίσταση R_T. Στο δεξιό μέρος των δυο κυκλωμάτων βρίσκεται η ίδια αντίσταση φορτίου R.

Για να προσδιορίσουμε την Ε_Τ και την αντίσταση του R_T του ισοδυνάμου κυκλώματος, εργαζόμαστε ως εξής:

1] Αποσυνδέουμε το σύνθετο κύκλωμα, που θα απλοποιηθεί, από το υπόλοιπο κύκλωμα, ώστε να παρουσιάσει δυο ακροδέκτες α, β.
2] Υπολογίζουμε την τάση σε κενό μεταξύ των ακροδεκτών α και β. Η τάση αυτή έχει τιμή ίση με την ζητούμενη τάση Ε_Τ
3] Βραχυκυκλώνουμε τις πηγές τάσης του κυκλώματος (v=0) και ανοικτοκυκλώνουμε τις πηγές ρεύματος (i=0), διατηρούμε όμως τις εσωτερικές αντιστάσεις των πηγών. Κατόπιν, υπολογίζουμε την ισοδύναμη αντίσταση του κυκλώματος, μεταξύ των ακροδεκτών α και β. Αυτή είναι η ζητούμενη αντίσταση R_T

Παράδειγμα: Δίνεται το κύκλωμα του σχήματος, όπου Ε=30V , R₁ = 20Ω και R₂=30Ω Να υπολογιστεί το ρεύμα, που διαρρέει την αντίσταση φορτίου R=6Ω

1) Αποσυνδέουμε την αντίσταση φορτίου R από το κύκλωμα, ώστε να παραμείνει το σύνθετο κύκλωμα, που θα απλοποιήσουμε, με τους ακροδέκτες του α και β

2) Η τάση thevenin Ε_Τ είναι ίση με την τάση U₂ στα ανοικτά άκρα α και β.
Ε_Τ= U₂=iR₂   όπου   i=E/( R₁+ R₂)=30V/50Ω=0,6Α  επομένως Ε_Τ=0,6×30 = 18V

3) Βραχυκυκλώνουμε την πηγή τάσης Ε. Έτσι προκύπτει το κύκλωμα του σχήματος (3) Η ισοδύναμη αντίσταση R_T μεταξύ των ακροδεκτών α και β, βρίσκεται από την παράλληλη σύνδεση των αντιστάσεων R₁ και R₂

R_T= R₁‧ R₂/( R₁+ R₂)=20‧30/20+30=12Ω

Το σχήμα (4) δίνει το ισοδύναμο κύκλωμα Thevenin. Για να προσδιορίσουμε το ζητούμενο ρεύμα και τάση στην αντίσταση φορτίου συνδέουμε το φορτίο στους ακροδέκτες α και β και παίρνουμε:

i = Ε_Τ / (R_T + R) = 18/(12+6) = 1A

Παράδειγμα: Σχεδιάστε το ισοδύναμο κύκλωμα Thevenin στα άκρα της αντίστασης R, όπου R1=75Ω, R2=40Ω, R3=20Ω, R=50Ω, is=2A, vs=5V

Βραχυκυκλώνουμε την πηγή τάσης ανοικτοκυκλώνουμε (αφαιρούμε) την πηγή ρεύματος, Στην συνέχεια αφαιρούμε την αντίσταση R από τα άκρα (α) και (β). Υπολογίζουμε την αντίσταση Thevenin όπως φαίνεται από αυτά τα άκρα:

R_T=R3+R1//R2=20+(75×40)/(75+40)=46,1Ω

Τοποθετούμε τις πηγές τάσης και ρεύματος και υπολογίζουμε την τάση Thevenin στα άκρα (α) και (β) με αποσυνδεμένη την αντίσταση R. Εφαρμόζοντας τους κανόνες ρεύματος και τάσης του Kirhhoff, έχουμε:

i₁ + i₂ = 2 (*)
i₁R₁ – i₂R₂ + v_S = 0  =>  i₁75 – i₂40 = -5 (**)

Επιλύοντας το παραπάνω γραμμικό σύστημα εξισώσεων παίρνουμε: i₁ = 0,65A  και  i₂ = 1,35A
Η τάση Thevenin είναι E_T = i₁R₁ = 0,65 × 75 = 48,75

Στο ακόλουθο κύκλωμα βλέπουμε το ισοδύναμο κύκλωμα Thevenin, καθώς επίσης σε αυτό έχουμε συνδέσει σε αυτό και την αντίσταση R

Το ρεύμα διαμέσου της R υπολογίζεται ως εξής I_R = E_T/(R_T+R) = 48,75/(46,1+50) = 0,51A
ενώ η τάση στα άκρα της R είναι: V_R = I_RR = 0,51×50=25,5V

Το θεώρημα Norton

Ένα άλλο θεώρημα που μας βοηθά να προσδιορίσουμε το ρεύμα σε μια αντίσταση φορτίου ή κλάδο ενός σύνθετου κυκλώματος, είναι το θεώρημα του Norton.

Σύμφωνα με το θεώρημα Norton, οποιοδήποτε σύνθετο γραμμικό κύκλωμα, συνδεδεμένο σε δυο σημεία σε ένα άλλο κύκλωμα, μπορεί να αντικατασταθεί με ένα απλό ισοδύναμο, αποτελούμενο από μια ιδανική πηγή ρεύματος Ι_G και μια αντίσταση R_T παράλληλα συνδεμένο στην πηγή.

Το παραπάνω σχήμα, δείχνει ένα σύνθετο κύκλωμα και το ισοδύναμο με αυτό κύκλωμα Norton. Για να προσδιορίσουμε το ρεύμα της πηγής Ι_G και την αντίσταση R_T του κυκλώματος Norton εργαζόμαστε ως εξής:

Α] Αποσυνδέουμε το σύνθετο κύκλωμα, που θα απλοποιηθεί, από το υπόλοιπο κύκλωμα (αντίσταση φορτίου, κλάδο κ.τ.λ.) ώστε να παρουσιάσει δυο ακροδέκτες α και β.
Β] Βραχυκυκλώνουμε αυτούς τους ακροδέκτες α, β και υπολογίζουμε το ρεύμα βραχυκυκλώσεως που περνά μεταξύ των ακροδεκτών. Το ρεύμα αυτό είναι ίσο με το ρεύμα Ι_G της πηγής ρεύματος.
Γ] Βραχυκυκλώνουμε τις πηγές τάσεως (v=0) και ανοικτοκυκλώνουμε (i=0) τις πηγές ρεύματος, διατηρώντας τις αντιστάσεις των πηγών, όπως ακριβώς στην περίπτωση του θεωρήματος Thevenin. Κατόπιν υπολογίζουμε την ισοδύναμη αντίσταση του κυκλώματος μεταξύ των ακροδεκτών α και β. Η αντίσταση αυτή είναι η αντίσταση του κυκλώματος Norton και επειδή είναι ίδια με εκείνη του κυκλώματος Thevenin, την συμβολίζουμε με R_T

Παράδειγμα: θεωρούμε το διπλανό κύκλωμα και θέλουμε να υπολογίσουμε το ρεύμα που διαρρέει και την τάση στα άκρα της αντίστασης 40Ω.

Εργαζόμαστε με το θεώρημα Norton όπως ακολούθως:
Πρώτον: αφαιρούμε την αντίσταση των 40Ω από τα άκρα Α και Β.
Δεύτερον: βραχυκυκλώνουμε τις πηγές τάσης ώστε v=0 και αφαιρούμε τις πηγές ρεύματος ώστε i=0.
Τρίτο: υπολογίζουμε την αντίσταση Norton στα άκρα Α και Β. Στο παράδειγμα μας η αντίσταση 10Ω είναι συνδεμένη παράλληλα με την αντίσταση 20Ω, οπότε η αντίσταση Norton υπολογίζεται ως εξής:
R_N = (R₁ ‧ R₂) / (R₁ + R₂) = 20‧10 / (20 + 10) = 6,67Ω

Τέταρτο: με όλες τις πηγές τάσεις και ρεύματος συνδεμένες, βραχυκυκλώνουμε τα άκρα Α και Β και υπολογίζουμε το ρεύμα Norton μέσα από τον βραχυκυκλωτήρα.

Στο παράδειγμα μας έχουμε:
Ι₁ = 10V / 10Ω = 1Α
Ι₂ = 20V / 20Ω = 1A
οπότε I_N = Ι_{βραχυκυκλώσεως} = Ι₁ + Ι₂ = 2A

Έτσι το κατά Norton ισοδύναμο κύκλωμα αποτελείται από την αντίσταση Norton R_N= 6,67Ω παράλληλα με την πηγή ρεύματος Norton I_N=2A

Με την αντίσταση των 40Ω συνδεμένη στο ισοδύναμο κύκλωμα Norton προκύπτει το ακόλουθο κύκλωμα. Σε αυτό το κύκλωμα έχουμε δυο αντιστάσεις συνδεμένες παράλληλα, των οποίων η ολική αντίσταση υπολογίζεται ως εξής:

R_total = (R_Ν ‧ R_L) / (R_Ν + R_L) = 6,67 ‧ 40 / (6,67 + 40) = 5,72Ω

Η τάση στα άκρα των παράλληλων αντιστάσεων (της αντίστασης Norton και της αντίστασης φορτίου) υπολογίζεται από την σχέση:
V_AB = I_N ‧ R_total = 2 ‧ 5,72 = 11,44V

Το ρεύμα μέσα στην αντίσταση φορτίου 40Ω δίνεται από την σχέση:
Ι_L = V_AB / R_L = 11.44 / 40 = 0,286A

Παράδειγμα: Σχεδιάστε το ισοδύναμο κύκλωμα Norton στα άκρα της αντίστασης R, όπου R1=75Ω, R2=40Ω, R3=20Ω, R=50Ω, is=2A, vs=5V

Βραχυκυκλώνουμε την πηγή τάσης και ανοικτοκυκλώνουμε (αφαιρούμε) την πηγή ρεύματος, Στην συνέχεια αφαιρούμε την αντίσταση R από τα άκρα (α) και (β). Υπολογίζουμε την αντίσταση Norton (Thevenin) όπως φαίνεται από αυτά τα άκρα:

R_N=R3+R1//R2=20+(75×40)/(75+40)=46,1Ω

Επιστρέφοντας στο αρχικό κύκλωμα με τις πηγές ρεύματος και τάσης αφαιρούμε την αντίσταση R και βραχυκυκλώνουμε τα άκρα (α) και (β). Στην συνέχεια υπολογίζουμε το ρεύμα βραχυκυκλώσεως, το οποίο είναι ίσο με το ρεύμα της πηγής ρεύματος Norton. Εκλέγουμε αυθαίρετες κατευθύνσεις ρευμάτων και εφαρμόζοντας τους κανόνες ρεύματος και τάσης του Kirhhoff, έχουμε:

i₁ + i₂ + i = 2
i₁R₁ – i₂R₂ + v_S = 0 => i₁75 – i₂40 = -5
i₂R₂ – i_NR₃ – v_S= 0 => i₂40 – i_N20 = 5

Λύνοντας το παραπάνω σύστημα εξισώσεων, παίρνουμε για το ρεύμα Norton i_N = 1,06A
Στο ακόλουθο σχήμα φαίνεται το ισοδύναμο κύκλωμα Norton καθώς επίσης και το κύκλωμα Norton στο οποίο έχουμε τοποθετήσει και την αντίσταση R.

Το ρεύμα που διαρρέει την R, υπολογίζεται ως εξής:

i₁R_N = I_RR => i₁46,1= i_R50 => i₁ = i_R‧1,08
i₁+ i_R = i_N => i_R‧1,08 + i_R = 1,06 => i_R‧2,08 = 1,06 => i_R = 0,51A

Ενώ η τάση στα άκρα της R είναι: v_R = i_RR = 0,51×50=25,5V