Το θεώρημα της υπέρθεσης

Το θεώρημα της υπέρθεσης ή θεώρημα της επαλληλίας ορίζει ότι η απόκριση σε ένα κλάδο ενός κυκλώματος ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των αποκρίσεων που θα προκαλούνταν στον κλάδο, αν η κάθε πηγή δρούσε ανεξάρτητα από τις άλλες.

 Για να εφαρμόσουμε το θεώρημα της επαλληλίας, πρέπει να διατηρούμε κάθε φορά ενεργή μόνο μια πηγή ρεύματος ή τάσης και να διακόπτουμε τη λειτουργία όλων των άλλων πηγών.

Για την απενεργοποίηση των πηγών, αντικαθιστούμε κάθε μη ενεργή πηγή τάσης με βραχυκύκλωμα και κάθε μη ενεργή πηγή ρεύματος με ανοιχτό κύκλωμα.

Η εφαρμογή του θεωρήματος της υπέρθεσης στην επίλυση κυκλωμάτων θα γίνει κατανοητή με τη βοήθεια των παραδειγμάτων που ακολουθούν.

Παράδειγμα 1: Στο κύκλωμα του σχήματος να υπολογιστεί το ρεύμα στην αντίσταση R2 με τη βοήθεια του θεωρήματος της υπέρθεσης.

α) πηγή τάσης Ε
Διακόπτουμε τη λειτουργία της πηγής ρεύματος αντικαθιστώντας την με ανοιχτό κύκλωμα. Το κύκλωμα στο οποίο λειτουργεί μόνο η πηγή τάσης είναι το παρακάτω:

Το ρεύμα στην αντίσταση R2 προκύπτει απευθείας από το νόμο του Ωμ:
Ι1 = 5 / (10 + 5) = 0,33Α

β) πηγή ρεύματος ΙS
Διακόπτουμε τη λειτουργία της πηγής τάσης αντικαθιστώντας την με βραχυκύκλωμα. Το κύκλωμα στο οποίο λειτουργεί μόνο η πηγή ρεύματος είναι το παρακάτω:

Από τον διαιρέτη ρεύματος που σχηματίζεται, το ρεύμα στην αντίσταση των 5Ω υπολογίζεται ως:
Ι2 = (10 / (5 + 10))‧2 = 1,33Α

Για τον υπολογισμό του συνολικού ρεύματος εφαρμόζουμε το θεώρημα της υπέρθεσης αθροίζοντας αλγεβρικά τα δυο ρεύματα:
Ι = Ι1 – Ι2 = 0,33 – 1,33 = -1Α

Το αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι η πραγματική φορά του ρεύματος είναι προς τα πάνω.

Παράδειγμα 2: Στο κύκλωμα του σχήματος να υπολογιστεί το ρεύμα στην αντίσταση R3 κάνοντας χρήση του θεωρήματος της υπέρθεσης:

α) πηγή τάσης Ε1
Διακόπτουμε τη λειτουργία των πηγών Ε2 και ΙS αντικαθηστώντας τες με βραχυκύκλωμα και ανοιχτό κύκλωμα αντίστοιχα. Το ισοδύναμο κύκλωμα είναι το παρακάτω:

Από τη σχέση του διαιρέτη τάσης το δυναμικό VA και το ρεύμα στην R3 είναι:
VA = 10 ‧ (5 || 10) / (20 + 5 || 10)
I1 = VA / 10 = 0,143A

β) πηγή τάσης E2
Διακόπτουμε τη λειτουργία των πηγών Ε1 και ΙS αντικαθιστώντας τες με βραχυκύκλωμα και ανοιχτό κύκλωμα αντίστοιχα. Το ισοδύναμο κύκλωμα φαίνεται παρακάτω:

Από τη σχέση του διαιρέτη τάσης το δυναμικό VB και το ρεύμα είναι:
VA = 5 ‧ (20||10) / (5 + 20||10) = 2,85V
I2 = VB / 10 = 0,285A

γ) πηγή ρεύματος I2
Διακόπτουμε τη λειτουργία των πηγών Ε1 και Ε2 αντικαθιστώντας τες με βραχυκύκλωμα. Το ισοδύναμο κύκλωμα δίνεται παρακάτω:

Από τη σχέση του διαιρέτη ρεύματος έχουμε

Για τον υπολογισμό του συνολικού ρεύματος στην αντίσταση R3 εφαρμόζουμε το θεώρημα της υπέρθεσης αθροίζοντας αλγεβρικά τις τρεις συνιστώσες:
Ι = Ι3 – Ι1 – Ι2 = 0,571 – 0,143 – 0,285 = 0,143Α